Bézier-Kurven sind in der Computergrafik sehr verbreitet und berühren auch mathematische Aspekte. In dem folgenden Beitrag bieten wir Ihnen eine kurze Einführung in die Arbeit mit Bézier-Kurven und beschreiben sie zunächst visuell und anschließend mathematisch.
Es gibt verschiedene Formen von Bézier-Kurven: lineare, quadratische, kubische usw. Lineare Bézier-Kurven sind nur gerade Linien. Die häufigste Art der Bézier-Kurve in Zeichenprogrammen ist die kubische und diejenige, die wir im Folgenden beschreiben werden.
Eine kubische wird durch vier Punkte bestimmt: zwei Punkte bestimmen, wo die Kurve beginnt und endet und zwei weitere Punkte bestimmen die Form. Angenommen, die Punkte sind mit P0, P1, P2 und P3 gekennzeichnet. Die Kurve beginnt bei P0 und geht zunächst in Richtung P1. Sie endet bei P3 in Richtung einer Linie, die P2 und P3 verbindet. Wenn Sie P1 weiter von P0 wegbewegen, wird die Kurve flacher und geht vor dem Drehen weiter in Richtung P1. Ähnliche Anmerkungen gelten für das Verschieben von P2 von P3 weg.
Nun zu den Gleichungen. Die kubische Bézier-Kurve ist gegeben durch
Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass B(0) = P0 und B(1) = P3. Eine kleine Berechnung zeigt, dass die Derivate die Anforderungen der
und
Das weitere Ausfahren der Punkte P1 und P2 steigert die Ableitungen und lässt die Kurve vor dem Biegen weiter in Richtung dieser Punkte gehen.
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