Wie Sie einen Einstieg in die Sampling Theorie finden.

Das Applet, das mit dieser www-Seite geliefert wird, ist eine interaktive Demonstration, die in die Grundlagen der Sampling-Theorie einführt.

Schneller Einstieg.

Die Signale, die wir in der realen Welt verwenden, wie unsere Stimmen, werden als „analoge“ Signale bezeichnet. Um diese Signale in Computern zu verarbeiten, müssen wir die Signale in eine „digitale“ Form umwandeln. Während ein analoges Signal sowohl in Zeit als auch in Amplitude kontinuierlich ist, ist ein digitales Signal sowohl in Zeit als auch in Amplitude diskret. Um ein Signal von kontinuierlicher Zeit in diskrete Zeit umzuwandeln, wird ein Prozess mit der Bezeichnung Sampling verwendet. Der Wert des Signals wird in bestimmten Zeitabständen gemessen. Jede Messung wird als Probe bezeichnet. (Das Analogsignal wird ebenfalls in der Amplitude quantisiert, aber dieser Prozess wird in dieser Demo ignoriert).

Wenn das kontinuierliche Analogsignal mit einer Frequenz F gesampelt wird, weist das resultierende diskrete Signal mehr Frequenzkomponenten auf als das Analogsignal. Genauer gesagt, werden die Frequenzkomponenten des Analogsignals mit der Samplingrate wiederholt. Das heißt, im diskreten Frequenzgang sind sie an ihrer ursprünglichen Position zu sehen, und auch zentriert um +/- und um +/- 2F etc.

Wie viele Proben sind notwendig, um sicherzustellen, dass wir die im Signal enthaltenen Informationen erhalten? Wenn das Signal hochfrequente Komponenten enthält, müssen wir mit einer höheren Samplingrate abtasten, um zu vermeiden, dass Informationen verloren gehen, die sich im Signal befinden. Im Allgemeinen ist es notwendig, mit der doppelten maximalen Frequenz des Signals zu messen, um die volle Information im Signal zu erhalten. Dies wird als Nyquist-Rate bezeichnet. Die Sampling Theorie besagt, dass ein Signal genau reproduziert werden kann, wenn es mit einer Frequenz F gesampelt wird, wobei F größer als das Doppelte der maximalen Frequenz im Signal ist.

Was passiert, wenn wir das Signal mit einer Frequenz sampeln, die niedriger ist als die Nyquist-Rate? Wenn das Signal wieder in ein kontinuierliches Zeitsignal umgewandelt wird, zeigt es ein Phänomen mit der Bezeichnung Aliasing. Aliasing ist das Vorhandensein von unerwünschten Komponenten im rekonstruierten Signal. Diese Komponenten waren beim Sampling des Originalsignals nicht vorhanden. Darüber hinaus können einige der Frequenzen im Originalsignal im rekonstruierten Signal verloren gehen. Aliasing tritt auf, weil sich Signalfrequenzen überlappen können, wenn die Samplingfrequenz zu niedrig ist. Frequenzen „falten“ sich um die Hälfte der Samplingfrequenz – deshalb wird diese Frequenz auch oft als Faltfrequenz bezeichnet.

Manchmal sind die höchstfrequenten Komponenten eines Signals einfach Rauschen oder enthalten keine nützlichen informationen. Um ein Aliasing dieser Frequenzen zu verhindern, können wir diese Komponenten herausfiltern, bevor wir das Signal sampeln. Da wir hochfrequente Komponenten herausfiltern und niederfrequente Komponenten durchlassen, spricht man von Low-Pass Filtering.

Sampling-Demo.

Das Originalsignal im folgenden Applet besteht aus drei sinusförmigen Funktionen mit jeweils unterschiedlicher Frequenz und Amplitude. Das Beispiel hier hat die Frequenzen 28 Hz, 84 Hz und 140 Hz. Verwenden Sie die Filtersteuerung, um die höherfrequenten Komponenten herauszufiltern. Dieser Filter ist ein idealer Tiefpassfilter, d.h. er hält exakt alle Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz und dämpft vollständig alle Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz.

Beachten Sie, dass, wenn Sie alle Komponenten im Originalsignal belassen und eine niedrige Samplingfrequenz wählen, Aliasing stattfindet. Dieses Aliasing führt dazu, dass das rekonstruierte Signal nicht mit dem Originalsignal übereinstimmt. Sie können jedoch versuchen, die Anzahl der Aliase zu begrenzen, indem Sie die höheren Frequenzen im Signal herausfiltern. Es ist auch wichtig zu beachten, dass, sobald Sie mit einer Rate über der Nyquist-Rate sampeln, weitere Erhöhungen der Samplingfrequenz die Qualität des rekonstruierten Signals nicht verbessert. Dies gilt aufgrund des idealen Tiefpassfilters. In der Praxis führt das Sampling mit höheren Frequenzen zu besser rekonstruierten Signalen. Höhere Samplingfrequenzen erfordern jedoch schnellerer Converter und mehr Speicherplatz. Daher müssen die Ingenieure die Vor- und Nachteile der einzelnen Anwendungen abwägen und sich der damit verbundenen Kompromisse bewusst sein.

Die Bedeutung des Frequenzbereichsplots für die Signalanalyse kann nicht unterschätzt werden. Die drei Diagramme auf der rechten Seite der Demo sind alle Fourier-Transformationsdiagramme. Es ist leicht zu erkennen, welche Auswirkungen eine Änderung der Samplingfrequenz hat, wenn man sich diese Transformationsplots ansieht. Mit abnehmender Samplingfrequenz nimmt auch die Signaltrennung ab. Wenn die Samplingfrequenz unter die Nyquist-Rate fällt, überlagern sich die Frequenzen und verursachen Aliasing.

Anweisungen zur Nutzung des Systems.

Das Applet ist in drei Abschnitte unterteilt, das Original Signal Panel, das Sampled Digital Signal Panel und das Reconstructed Analog Signal Panel. Durch die Auswahl der Samplingfrequenzen können Sie die Auswirkungen von Aliasing in den Frequenzbereichsplots sehen. Durch die Wahl der Filterfrequenz können Sie steuern, welche Signale beim Sampling des Analogsignals übrig bleiben. Sie können den ursprünglichen Plot über den rekonstruierten Plot legen, wenn Sie sehen möchten, wie unterschiedlich die Ergebnisse sind. Sie können auch die Reset-Taste verwenden, um alle Werte auf ihre ursprünglichen Standardwerte zurückzusetzen.

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